Мы прилетели около 18 часов, ждали ветеринара примерно полчаса. Уведомление отправляли за два дня, но все равно он там, похоже, не сидит на месте в нерабочие часы, поэтому приходится подождать.

Да нет, уверена, что так не будет. Это же обязательная с их стороны проверка в аэропорту, значит, они должны подстраиваться, а не прилетающие. Тем более вы отправите уведомление заранее 👌

Сначала нужно установить чип, потом сделать прививку от бешенства. Прививку можно также сделать в день чипирования (но не раньше даты установки чипа, это важно).

Вообще, номера чипов, поставленных в России, начинаются с цифр 643

Судя по официальному сайту кипрской ветслужбы, все прибывающие животные проходят ветконтроль в аэропорту (но, похоже, только прибывающие из-за пределов ЕС платят сбор за осмотр, хотя не уверена, что это работает без ветпаспорта ЕС): Upon arrival, every animal and its accompanying documents are inspected either by a Veterinary Officer or by a Customs Officer on duty. Здесь подробнее, раздел Conduct of checks: http://www.moa.gov.cy/moa/vs/vs.nsf/vs07_en/F7E307422C0B1B99C22575350040DAE2?OpenDocument