Вроде авиакомпании не перевозят попугаев, опасно для их жизни и здоровья. Эмираты только соколов берут на борт. Поэтому скорее всего только наземным путём и паромом из Греции, но у парома уже сезон закончился до следующего лета.

Вы можете попробовать поискать истории перевозки птиц в другие страны в чате «Увожу кроликов» - https://t.me/+Cm_ikyupPDQ4ZDdi

Просто обычно на Кипре для ввоза животных не делают никакие документы, и чаще действительно везут животных не из ЕС.

Если у вашего животного паспорт ЕС, где есть европейские прививки заверенные врачом, вам даже на ветконроль не нужно будет идти.

На счёт успокоительного лучше проконсультироваться у ветеринара, а не в чате. Для каждого животного свой препарат и его дозировка.