Ваше мнение о том, что мне делать, мне не интересно.

Если вопрос именно оплаты, у них есть несколько вариантов, на стойке тоже иногда предлагают, но не всем, непонятно, от чего это зависит.
На всякий случай: у Эмиратов надо заранее бронировать место для животного по телефону, Вам надо будет рассказать оператору про породу животного, возраст, размер переноски, в которой собираетесь его везти. Потом Вашу заявку подтверждают (или нет, но это редкий случай, тогда надо просить объяснить, что не так), и можно оплачивать. Из вариантов знаю 100% что можно зарубежной картой по телефону (диктовать её данные роботу), если сильно заранее, то они принимают банковский перевод рублями (надо уточнять, актуален ли этот способ), можно наличными рублями в их офисе в Москве и вот кому-то в чате разрешали в Пулково на стойке регистрации. Но это все надо оговорить заранее.

https://fsvps.gov.ru/ru/puteshestvuyushchim/vvoz

Вот тут написано, что достаточно прививки (если не делали в течение 12 месяцев, то есть просрочили, то ей должно быть не менее 20 дней) от бешенства, специфичной для вида прививки (для кошек и собак разные, какие именно - написано в этой инструкции) и "отметка компетентного органа" (государственная ветеринарка, видимо) в международном ветпаспорте об осмотре животного в течение 14 дней перед отправкой. Всё.

Посмотрите поиск по чату по слову "чартер", тут уже попадала в подобную ситуацию Юлия, у неё получилось как-то разрулить, может быть, она Вам что-то подскажет.