Летела Cyprus Airways, переноска была примерно как Ваша, даже чуть больше, никто ничего не сказал, даже наоборот, так как салон был полупустой, мою соседку пересадили и выделили для переноски отдельное кресло. Но: я летела из Каира, там не было даже стойки регистрации для транзитных пассажиров, и сотрудника, который выдал мне посадочный, интересовали только доки на кота)
У меня чисто на всякий случай была с собой в ручной клади крохотная складная переноска, которая подходила под их требования, но обошлось без неё.

Когда я покупала билет у них на сайте, там отдельно была указана норма для ручной клади, и ничего не менялось при добавлении животного. У меня был самый обычный рейс, а ручная кладь - большой городской рюкзак.

Погуглите cyprus airways pet policy, там в special conditions много написано. Если Вам интересно про котов, то в багаж они не берут брахицефалов (там есть полный список пород), но их можно брать в салон. Вообще при покупке билета, если я правильно помню, породу писать не надо, при регистрации её тоже не проверяют.
Летела с Highland fold, это как Scottish fold, только длинношерстный.

Насчёт ограничивают или нет - не в курсе, но логично было бы, чтобы ограничивали, с технической точки зрения очень просто сделать)

Мне уже давно неактуально, Вы немного промахнулись)