Нет, не нормально. Сначала контракт, причем со всеми деталями, кто за что платит, потом оплата за первый месяц и депозит. Агент может быть левая, квартира тоже. Не стесняйтесь спрашивать документы риэлтора и ее статус на Кипре и документы ( титул) на квартиру от хозяина, чтоб показали . Обезопасьте себя.