Со страховыми, которые у меня были - именно так. Оплатить счет, регистратура заполнит claim и потом запрашивать возмещение. для экзотических страховых клейм форму надо с собой, для популярных у них часто есть.

По возмещению я сильно подозреваю, что вопрос будет в датах, которые укажет больница в документах.