Также вот здесь можно найти врачей, которые работают в ГЕСИ, из государственных и частных госпиталей, будет больше список, тк частные тоже есть: https://www.gesy.org.cy/provider-search (ввести в поиске Outpatient Specialist, Specialty: RHEUMATOLOGY, сначала кнопкой вверху переключить на английский)

Надбавка за прием в выходной устанавливается врачом самостоятельно (судя по информации на сайте ГЕСИ). Поэтому вам всё-таки придется позвонить и спросить.