Семейный врач (personal doctor, PD) - это терапевт.
Педиатр - так и есть педиатр.

Иногда эти два направления один человек может совмещать, тогда смотрит и детей, и взрослых. А может не совмещать.

Педиатры - да, ставят прививки.

Думаю, что да, именно так