на Кипре такая система:
есть государственные клиники (Дженерал госпиталь во всех больших городах) и частные клиники.
и есть врачи. каждый врач определяет, где он будет работать. иногда врач работает и в частной, и в государственной клиниках.
и есть система Еси (аналог русского ОМС). каждый врач, опять же, определяет для себя, хочет он подключиться к ней или нет.

если врач подключается к Еси, то те, кто подпадает под ее действие, могут приходить к этому врачу и пользоваться его услугами условно бесплатно. зарплату ему (и клинике) будет осуществлять система Еси.
если врач не подключается, то где бы он ни работал, пришедший пациент должен оплачивать услуги врача (и клиники) самостоятельно своими деньгами.
и еще есть отдельная система для украинцев,

теперь про врачей:
врач бывает терапевт (на английском это называется personal doctor, то есть врач общей практики). и есть врачи-специалисты (офтальмолог, лор, хирург и т.п.).
те, кто в Еси, чтобы попасть на прием к специалисту, должны сначала посетить своего персонал доктора (человек к нему "прикрепляется", поэтому он называется персонал). и тот дает направление на специалиста.
те, кто не в Еси, обычно идут сразу к специалисту, т.к. должны оплачивать каждый прием, ну и платить двум врачам не хочется, особенно если знаешь, какой специалист тебе требуется.

в вашем случае, я думаю, вам порекомендовали обратиться к персонал доктору за тем, чтобы он сделал первичный осмотр - во-первых, чтобы исключить не-аллергические причины, и во-вторых, возможно, он порекомендует какого-то нужного врача (аллерголога?), которого участники чата тут не могут порекомендовать.

еще есть Иллиада Эврипиду, она педиатр-аллерголог.
работает в клинике Евангелизмос.
ей можно позвонить (телефон на сайте клиники - на ресепшн можно попросить русско-говорящего человека, чтобы все выяснить по телефону). возможно, она возьмет вас на прием, несмотря на то, что педиатр.

может быть, еще поискать в Лимассоле?

возможно, это укусы насекомых, которых называют hidden fly, их практические не видно. укусы чешутся несколько дней