Вот тут faq по геси: https://www.gesy.org.cy/sites/Sites?d=Desktop&locale=en_US&lookuphost=/en-us/&lookuppage=hiobeneficiariesregistrationfaq

И да, вы будете иметь право получать их услуги как жена мужа, если у вас будет фэмили реюнификейшен виза (стандартный вариант)

Если у вас ребенок подросший, старше 4 лет и уже ходил в садик, я советую вступать только в геси, этого скорее всего хватит

Если совсем мелкий, когда сопли/кашель каждые два месяца с началом садика, то лучше ему еще и частную страховку сделать, которая покрывает амбулаторное лечение, так будет спокойнее. Мне считали 44 евро в месяц за человека