Вроде, была какая-то процедура продления разрешения на пребывание, предназначенная, в частности, для всяких чрезвычайных случаев вроде внезапной болезни (ну, например, у человека виза заканчивается, а он на ИВЛ в больнице), отмены рейсов и т.п.
Может, через неё попробовать?

Я имею в виду не "рассказывать сказки про тяжёлую болезнь", а "честно рассказать, что не успеваешь подать документы, и вежливо попросить статус на эти дни". Откажут так откажут, придётся выехать.