Вы невнимательно прочитали. На рейс вас регистрирует авиакомпания. И именно этот паспорт должен быть использован при въезде в страну назначения. А то, что вы показываете другой паспорт пограничникам при выезде, не противоречит

Авиакомпания проверяет при регистрации возможность вашего въезда в страну назначения, поэтому и вносятся паспортные данные

ваш паспорт, по которому вы вылетаете из страны отправления, и по нему же регистрируетесь на рейс, даёт вам право безвизового въезда на Кипр?

Ответ неправильный. Данные API сверяются всегда и автоматически при сканировании паспорта. Несовпадения видны сразу. То, что вам десятки раз даже не задали вопроса на эту тему, говорит о том, что в конкретных аэропортах въезда это не посчитали критичным. Это не приводит к большим проблемам, но иногда данные приходится перебивать вручную на границе, что занимает время