Работают, обычно в теч 1-4 дней отвечают

Ссылки на официальные документы и на сайт миграции есть в закрепе

6 и 4 месяца

Да не нужно никакого согласия на учебу, должно быть согласие на проживание ребенка в республике Кипр с матерью и ваши права быть спонсором для получения ребенком вида на жительство до достижения им 18 лет. Намудрили уже с три короба, там две строчки буквально. Делается в консульстве Кипра, здесь не примут без консульского заверения

Чтобы начался отсчет туристических, надо выехать с Кипра и заехать как турист

Не будет, если выехать в день окончания рабочего внж