Вам вряд ли назначат дату подачи документов на ВНЖ до вашего приезда на Кипр. Имею в виду, вряд ли будут рассматривать просьбу назначить дату. Обычно ответ в духе "приезжайте, после вашего приезда запрашивайте дату".

Приезжайте и записывайтесь. По возможности, они учитывают ваши "визовые реалии". Вы же указываете дату вашего прибытия на Кипр. Ну моете еще указать, что ваша виза действительна до... и вы просите назначить аппойнтмент до этой даты.
Дополню для понимания: приехали и хоть в тот же день email с просьбой дать аппойнтмент отправили.

Уточните, пожалуйста, какой Immigration Unit? Paralimni?