В целом, Кипр неудачный выбор. Вам нужна рабочая виза, чтобы работать, вам нужно будет проходить процедуру признания диплома, вам нужно будет вступать в местную ассоциацию врачей, скорее всего - сдавать экзамены на греческом. В целом, вам понадобится пять - семь лет, выучить греческий на С2, и побыть эти годы ассистентом, за ассистентскую зарплату. И непонятно, в каком визовом статусе.

Все проще, если паспорт ЕС есть в семье, да

Снимается визовый вопрос, но вопрос признания диплома и вступления в местную ассоциацию врачей, и возможных экзаменов - остается. Кофе варить будет можно.

Формально - не можете. В реальном мире на это часто просто забивают.