После получения гражданства, до получения id ребенка такая же история (даже при наличии паспорта)

Я про получение детского гражданства и европейскую карту здоровья Лизе отвечала. Пока у ребенка нет тавтотиты,ее нельзя получить. Даже если есть на руках паспорт

Да важный нюанс, что у вас дети родились на Кипре.

да, но вот свежая история сентября, Паспорт есть, тавтотиты нет. Номер в системе видят, но без карточки в гесси с новым номером не прикрепляют (общались и сгесси), без прикрепления с новым номером - европейскую карту здоровья не получить

Ну вот получается ваша история такая же. Без готовой тавтотиты гесси не переподключают