В закрепе согласие второго родителя на выезд с Кипра, если второй родитель тут.

Это не для вашей ситуации.
При раздельном проживании должна быть доверенность от второго родителя на всё: проживание за границей, учёбу и т.д.
У нотариусов обычно есть тексты таких доверенностей, если речь про РФ. Вам эта бумага нужна будет везде: от Мигрейшена до записи в школу.
Оригинал у вас, во все инстанции копии.