Договор оказания услуг, скорее, если она self-employed.

Вероятнее всего, это требование как-то связано с моментом интеграции в местное сообщество. Всё-таки, на территориях, подконтрольных законному правительству Республики Кипр, греческий язык - основной и язык подавляющего большинства граждан.

Примерно так.
Родители планируют и далее работать и проживать на Кипре. Дети планируют далее проживать на Кипре.

Да вроде бы не было никогда заморочек на эту тему (и сложностей не возникало). Но, возможно, кто-то еще поделится своими соображениями по этому поводу.