То, что новая компания заплатила за вас социальные взносы за период до подачи в миграцию, никакой роли не играет. Миграция фиксирует ваш статус на Кипре по своим данным

А в чем проблема работодателя? Например, 1 сентября подписали рабочий контракт. 22 сентября подали этот контракт в миграцию - стандартный ход событий. А то, что работник не выехал за пределы Кипра по завершении легального пребывания и в момент подписания контракта являлся нелегалом, к новой компании не имеет отношения

Получается, новая компания подавала документы в миграцию больше 30 дней?

Сочувствую. Но это была ваша ответственность улететь с Кипра по завершении 30 дней, если не получили ресипт по новой подаче