Да, вы не подадитесь если разные имена. У меня знакомая перевыпускала свидетельство о рождении. Но она родилась на территории Украины, поэтому перевыпустила через Дию.

Ну доказательства изменения фамилий женщины предоставляют - свидетельства о браке/разводе, выписки из реестра.

Если разница существенная - нужно перевыпустить. Особенно если отличаются первые буквы имени (а это много где)

Проверьте написание имен/фамилий ребенка, матери и отца сразу на английском и на греческом. Там два поля для одной графы специально для двух языков.
Я вообще сама всё заполняла, персонал только штамп поставил