Никак. Только на въезде. Поэтому к ним стремятся нелегально со всего мира...

Переподача с исправлением причины.

Позвоните в Москву, попробуйте через них и курьеров. Объясните ситуацию.

Учёт человека на Кипре идёт первоночально по номеру паспорта, потом по arc. Систем сейчас действительно несколько, местная с провизами, местная с arc, европейская frontex переходящая в EES.
Есть не единичные случае когда сейчас пускают по провизе на 90 дней... что как-бы говорит о профессионализме...

А с внж/пмж ЕС уже несколько лет могут не ставить печати в паспорт, ещё сильно задолго до введение EES.... но знают об этом очень мало кто, но Эстония / Латвия сильно портят людям жизнь с ПМЖ...
Электронно отмечено у соседей в локальной системе, без печати считается нарушением в "родной" стране внж/пмж...

Когда у тебя есть обязанность не выезжать больше чем на 90 дней из Латвии при Латвийском внж, а ты возвращаешься через Эстонию и без штампа, по умолчанию тебе в Латвии пишут нарушение - надо давать пояснения и воевать, чтобы проверили в Эстонской системе - они могут, но просто так это не делают.

Да, а бывает опечатка в номере паспорта и тогда задваивается запись...серия и номер в РФ паспортах очень этому помогают, то с пробелом, то без, то без серии...
Есть внж - лучше его давать вместе. Меня тут с ЕС ID не хотели пускать пока права не показал с ARC :) вообще не понял что это было.

Очень много легенд :)
Где-то правда, где-то на понт брали...