Или если родитель получил гражданство, а ребенок родился после этого.

Сейчас данные берут из системы погранконтроля.

По логике - да, т.к. существует отдельная форма регистрации для этого.
Надо будет закон на досуге почитать.

Верно. Имел в виду, что по логике так и есть, как вы написали.

Строго говоря, в формах M127 и M126 нигде не фигурирует понятие "урождённые киприоты". Там говорится "гражданин Кипра иначе чем по натурализации или регистрации". Но, возможно, в это вкладывается именно смысл "рождённые на Кипре [1] и являющиеся гражданами Кипра по рождению [2]". 2 - бесспорно. 1 - в этом и вопрос.
Кроме того, M121 - это регистрация в Консульствах за рубежом факта рождения гражданина Кипра? (когда как минимум один из родителей - киприот). Или регистрация в том же смысле, что и по M126 (предоставление гражданства изначально негражданину)?
Понятно, что интерес больше академический, т.к. всё-таки ситуация редкая. Если есть сомнения - проще другого поручителя найти.

Да, наверное, логично.
Кроме того, те же дети граждане, рождённые на Кипре, но получившие гражданство по M126 - они-то однозначно нет. Несмотря на то, что родились, живут и граждане.
Но интересно всё-таки, упоминается ли это где-то прямо / явно в законе.