универсально оно устроено так: права ЕС другой страны должны быть зарегистрированы в новой стране в течение 90 дней, есть отдельная процедура. Это делает для того, чтобы полиция при проверках по номеру авто видела страховку, техосмотр и права/владельца. Но права меняются только при замене по утере, или при каких-то исключительных ситуациях - можно писать мотивационную петицию, технически они могут быть заменены

я к сожалению не в курсе конкретно кипра, но делал это в других странах несколько раз, при переездах