И это не очень хорошо.
Какой срок прошел с момента рождения?

Пока не критично, но дальше тянуть не стоит.
1. Гражданство ребёнку по вашему текущему на момент его рождения.
2. ВНЖ Кипра.
3. Гражданство Кипра ребёнку по регистрации после того, как гражданство получите вы.

Во всех списках докуметнов, необходимых для подачи на получение разных типов ВНЖ / ПМЖ Кипра, паспорт стоит на первом месте.
Теоретически, ARC можно получить и без подачи на ВНЖ / ПМЖ, но это только сильно теоретически, да и смысла в этом нет. И даже это - сомневаюсь, что без паспорта.

Вы вообще можете выезжать с Кипра по одному паспорту, а въезжать в Японию по другому.
Правило: по какому въехали в страну, по тому и выезжаем. Если не так, надо быть готовым объяснить, почему.

А как Армения и Россия связаны?
По какому в Армению въезжаете, по такому из Армении и выезжайте.
При чём здесь выезд с Кипра и въезд в Россию?
И мы сейчас про пограничников, если что, верно? А не про регистрацию на рейс авиакомпании.