Более того, у вас в полисе (договоре страхования), скорее всего, написано, что вы без согласования с вашей страховой не должны признавать сумму ущерба, производить какие бы то ни было выплаты и т.п., иначе страховая "умывает руки".
Почитайте условия, иногда полезно.

Выписку запросить.

Вариантов масса. Попробуйте поиск по Social Insurance Statement и выбирайте наиболее вам подходящий.

А договор с новым работодателем подписан?

Ну вы ж без нового договора не подадитесь по смене работодателя...

Ну не совсем тыква - для обмена-то они годятся, пока их срок не вышел.
Но ездить по ним нельзя, факт - для управления ТС на Кипре их считай что нет.