Между Кипром и РФ существует соглашение, где гос.органы Кипра принимают документы из РФ (как Свидетельства о рождении, браке, несудимости итд) без заверения и апостиля. Нужно только заверенный перевод, его можно оформить на Кипре. Это если вам нужно для кокретных целей на Кипре, например для миграционной (Договор, подписанный 19 января 1984 года между СССР и Республикой Кипр действует до сих пор). Статья 15: документы, выданные или заверенные компетентными органами одной из сторон (например, свидетельства о рождении, браке, справки о несудимости), не требуют легализации или апостиля на территории другой стороны. Иногда со стороны РФ могут возникнуть требования по поводу апостиля (например налоговая РФ или нотариусы РФ по вопросам доверенностей), но на Кипре принимают без.

Если документ выдан на Кипре, то его можно заверить через министерство внутренних дел. Если документ выдан через посольство - сначала заверяется посольством и после - министерством. Для РФ не подскажу, давно там не работаю, последние разы делала через юристов