"Боже, как давно это было!.."
Уже неактуально.
Запись стандартно по email на продление / смену ВНЖ Visitor (кроме Никосии) / живая очередь (Никосия). В пакет документов добавить Termination Letter.

Звонят обычно.

Можно было б заполнить стандартную Declaration of mailing address и попросить добавить ("доложить") в ваш файл. Но:
1. Эффект примерно в 50% случаев.
2. Migration Department и Directorate of Civil Registry - 2 разные организации.

Уведомить, когда получите ПМЖ или гражданство.

Не раз уже обсуждали...

High-Skilled Employees
...
2. Individuals, regardless of their residence status, who:

receive a minimum gross monthly salary of €2500,
hold a university diploma or degree or an equivalent qualification, or certificates of experience in a corresponding employment position for a duration of 2 years (e.g., tax declarations).
Individuals in category (2) must provide a certificate either from the Business Facilitation Unit or from the Civil Registry and Migration Department confirming that the company meets the criteria of the Decision.

3. Highly skilled employees and their family members can apply for an accelerated examination, not exceeding 8 months, by paying €5.000.

Please note that applicants under this category should be employed, in a company determined by the Decision of the Council of Ministers with no. 92.018 and date 15/10/2021, for a period of at least two years prior to the submission of the application for naturalization.

Иными словами, важно работать в нужном месте / должности. Неважно, по какой карточке.

Добавлю: "но есть нюанс". Spouse employee - всё же, зависимый ВНЖ, со всеми вытекающими. С другой стороны, BCS Director / Key personnel точно так же уволить могут.

подтверждающего право на постоянное проживание гражданина Российской Федерации на территории иностранного государства

Из того, что вы же процитировали.
Надеюсь, я ответил на ваш вопрос.

И было разъяснение Верховного Суда по этому вопросу.
Всё легко ищется. При желании.