ПМЖ дан Вам, а не паспорту. Я, вроде, 3 (если не 4) поменял. Вопросов ни разу не возникало на границе. Пограничники на въезде / выезде сами с системе привязывают новые документы, видимо.
Лучше при первом пересечении иметь с собой просроченный паспорт. Ну, и вылетать с тем, где была отметка о влёте.