С записью обычно нет проблем. На следующую неделю-две можно записаться. Решение по визе говорят сразу, если не отправляют на админ проверку (ее сроки непредсказуемы, от месяца до года и более)

Не надо. Просто заверяете приглашение и всё. Если только жилье предоставляете без полного спонсорства, то и выписка ваша не нужна.

Вообще не должны. Испанцы не могут заставить вас ее спонсировать, если вы не хотите))