А вообще какая связь брака родителей и детского пособия? Пособие выдают только родившимся в браке?

Возможно ноги растут из необходимости уведомления РФ о заключенном за границей браке.
В теории это можно делать через консульство РФ, но на практике они отсылают в мфц/загс в РФ.

Но все же непонятно, какое отношение это имеет к получению кипрского пособия по рождению ребенка.

Если понять логику требования, можно правильно выстраивать аргументы для обжалования/ обоснования, почему не нужно.

С миграцией понятно.
Но после нее легальному резиденту в других инстанциях уже можно (а в случае с правами ребенка даже нужно).

Санкций за несоблюдение нет.
Обязанность еще с 2019 года предусмотрена.

Не знаю.
Писали, что если была смена фамилии, у кого-то возникали сложности при получении услуг в консульствах.

Для пмж/паспорта важны как сбережения, так и регулярные расходы на Кипре.
Если выписки подтверждают что деньги ушли из кипрского банка на Револют, но по факту их расход был на Кипре, это хорошо.