Есть, поиском по чату, много раз рекомендовали.

Вообще непонятно ничего.
В РФ подают на визу Кипра лично в консульствах, они сами никакого приглашения не запрашивают. При чём тут Румыния - не ясно.
Поэтому и спрашивают с вас нормальный запрос с конкретикой.
От места подачи, от гражданства супруги могут ответы зависеть.

Общий механизм: если поездка реальная, есть билеты, деньги, гостиница, то приглашение вам не нужно.
Если это рабочая, образовательная, деловая поездка или проживание предоставляет кто-то, то этот кто-то и может сделать приглашение.
По своей сути приглашение - это обозначение места проживания и заменяет гостиницу. Какие-то бенефиты по срокам действия визы есть только у близких родственников.

Если Молдова делает визы на Кипр через Румынию, то можно обратиться письменно в консульский отдел Кипра там и задать вопрос про обязательность приглашения.
Получить от них письменный ответ и с этим ответом в визовое агенство.
Скорее всего это агенство на месте ерунду делает.
Хотя может и найдутся желающие приглашение вам сделать.