Что касается госпитализации, то многие компании оплачивают напрямую в клинику - это не проблема.
Что касается походов по врачам (амбулаторного лечения), то вряд ли найдете такую компанию на Кипре. Возможно международные компании типа Бупа, но ценник будет в 2-3 раза выше, чем в кипрских компаниях.

Ваш страховой агент выпишет кавер нот (временная страховка) с отметкой, что «для сдачи экзамена» на 1 день и стоит это обычно 25-30€

Энитайм вряд ли будет заниматься такими частными случаями. Но попробуйте.