да, тем, кто подпадает под директиву 2004/38
супруги киприотов на Кипре под неё не подпадают

не могут, у них обычный внж

вернее, только пару консульств в курсе

уточнение - только при поездке с супругом/к супругу
если самостоятельная поездка - всё как для всех

так им же виза не нужна

не нужна:
Your non-EU family member does not need a visa if they have a residence card.

With this residence card (or permanent residence card) they can travel visa-free to all EU countries (including the country of your nationality) as well as to Iceland, Liechtenstein and Norway, also without being accompanied by you. This applies regardless of which EU country issued their residence card and the country they are visiting.
https://europa.eu/youreurope/citizens/travel/entry-exit/non-eu-family/index_en.htm#residence-card-yes

не знаю, но вот теперь - можно просто так 😊
причём не требуется виза и в родную страну гражданина ЕС

клиника выдаёт сертификат о родах, его либо в муниципалитете меняете на кипрское СОР, либо в посольстве на СОР РФ
формально и там и там нужен оригинал сертификата о родах