Социалку тут: https://www.gov.cy/en/digital-services/labour-and-insurance/social-insurance-services/synoliki-katastasi-asfalistikoy-logariasmoy
Подоходный без пейслипов/TD63 очень муторно, ногами в налоговую.

Похоже на скам. Вы не сможете подать достоверную декларацию без формы TD63, т.е. не зная сколько было за вас уплачено.

Employers are now required to provide to their employees a payslip in written or electronic form,
within 5 working days from the date of salary payment.
https://www.pwc.com.cy/en/publications/assets/trs-n1-2023.pdf

Кроме социалки есть еще подоходный

Records must be kept and made available within 15 calendar days from a relevant request by an Inspector or other official.

Собсно просить налоговую отправить официальный запрос.

Обязан. В простом случае можете.