У меня было такое с финскими правами. Схема действий такая:
1) идете на Кипре в полицейское отделение примерно там, где вы потеряли. Подписываете заявление об утере. Хорошо, если у вас есть фото прав или их номер. Но заяву в любом случае у вас примут и проштампуют. Берегите эту бумагу, по ней вы будете ездить легально сколько угодно и она потом потребуется для выдачи кипрских прав.

2) записывайтесь на обмен в Road department. Квест ещё тот, я два года не могла записаться, но после гневного письма об узурпации прав матери тройни (у меня тройняшки) приняли в течение недели. При записи по телефону НЕ ГОВОРИТЕ о том, что ваши права потеряны, просто что хотите обменять польские на кипрские.

3) когда подойдёт ваша очередь, скорее всего, уже приедет и бумага из Польши о том, что они приняли к сведению: права потеряны.

4) с паспортом, Cyprus ID и бумагой из кипрской полиции об утере идете в дорожный департамент, там могут чисто формально проверить зрение, пишите заявку на кипрские права, делаете там же фото, через пару недель будет готово. У вас заберут вашу бумагу из полиции, по которой вы ездили, но взамен выдадут бумагу из департамента, которая служит временными (на месяц) правами до получения карточки.

Я ездила с бумагой об утере два года, начала качать права только после того, как потребовалось сменить машину. С бумагой и фото утерянных прав нельзя ни car share взять, ни в аренду за границей, в общем, только продолжать ездить на своей машине.

Они сами не знают, как записать на потерянные иностранные права. На потерянные кипрские перенаправляют на номер телефона, который никогда не отвечает.
За два года полиция останавливала один раз, бумагой была удовлетворена. Страховую я меняла и они удовлетворились фотографией обеих сторон потерянных прав, по ней выдали страховку и потом ещё выплатили страховой случай, кстати.

На просто обмен иностранных прав на кипрские очередь почти полгода была, кстати, но меня не захотели записывать потому, что права потеряны.

Тогда ещё легче, возьмите бумагу в полиции и с ней приходите на обмен.

Поменяют, если есть заявление о потере прав из полиции.