Два работодателя на Кипре - никак не работает, только один.
Второй работодатель вне Кипра - возможно.

Бывает, что и не близким родственникам дают мультивизу на 3мес.-1год.
Бывает, что даже близким на короткий срок.
Пребывать по любой визе вы можете не дольше 90 дней в любые 180 дней.
Но приглашение по факту заменяет гостиницу, если приглашающая сторона указывает это в анкете. Так же приглашающий может выступить спонсором, если собственных средств не хватает. Для длительной визы без приглашения вам надо будет показывать билеты на все планируемые поездки (выкупленные) и брони гостиниц на все даты проживания. И то не факт, что дадут.
Приглашение, даже не от близкого родственника, облегчает/удешевляет процесс, но не является гарантией мультивизы.

Не сможете. Только по внж так возможно.

Как то была информация, что вроде в середине февраля ожидают.

Вы если сами физически в регионе, то можете в Кипрское посольство документы на визу СДЭКом отправить.
Если в МСК, то не подскажу агентства.