Сканы приглашений вполне подходят для Консульского отдела Посольства Кипра в Москве.

Я так поняла, речь про подачу на визу вместе.

Так в РФ нет никаких ограничений на выезд с одним из двух родителей.
Согласие нужно для визы. Мы обошлись в своё время болгарской годовой мультивизой, подавались на которую всей семьёй и не надо было согласий, летели потом по отдельности. Никаких согласий никому и нигде не предъявляла при перелётах.

Если работодатель умеет делать entry permit для семьи сотрудника, то согласие нужно работодателю и они здесь сами всё сделают. Либо делать тур.визу и тогда согласие предоставлять с основным набором документов в Консульство Кипра по месту подачи. Для обоих этих случаев, считаю, подойдёт бумажка, заверенная у sertifying officer-а. Но можно уточнить и у Консульства кипрского в РФ.