На сайте ирландской миграционки всё есть
Если кратко: вы сперва заполняете электронную анкету, потом пишете в посольство Ирландии в Никосии с просьбой дать вам слот, после чего идете туда и подаетесь

если вы более 183 дней на Кипре, то вы налоговый резидент Кипра, а раз так, то вы обязаны платить налоги на Кипре по факту того, что вы налоговый резидент Кипра
отсутствие TIC вас не спасет