все верно, еще я бы добавляла "с правом подписи всех необходимых документов".
это очень юридически значимый документ, поэтому лучше готовить текст юристу с учетом особенностей страны пребывания ребенка.

а там полноценное консульство или выездной пункт обслуживания консульства России в Республике Кипр?

тогда нет проблем, кмк
место выдачи паспорта будет указано консульство в Республике Кипр, а не консульство в ТРСК (которого не существует в принципе сейчас)

по идее да, так и есть

по идее гражданин РФ может обратиться в любое консульское учреждение и получать услугу. мне во всяком случае так консул говорил.