IR63 вам предоставляет Кипрский работодатель по итогам года, как аналог 2НДФЛ в РФ. Как вы это связываете с Американской компанией?

Нет, не можете. Обычно при трудоустройстве на новую работу на Кипре просят - последний пинкслип (чтобы понять, сколько у вас уже был Income) и заполнить форму TD 59, чтобы знать как с вас удерживать Income Tax, чтобы вы потом либо не были должны, либо не ждали излишне уплаченный Income Tax в течении 3-4 лет.

странно, платил 5 евро (ранее вообще 3 евро) за всю выписку (3 месяца) с печатью и подписью на каждой странице.

странниц было много, общая очередь в BOC, там куда попадешь, личный менеджер тут не причем.