Я знаю, что подавали прямо само заявление на зачисление в госшколу (вроде, копию с отметкой министерства), когда речь шла про возраст, где ещё не обязательное обучение, а обязательное со следующего сентября.
Если же речь не про зачисление в продимотико на следующий год, а зачисление здесь и сейчас, то этот вопрос для возраста обязательного образования решается в течение пары недель максимум. Если ребенок уже должен учиться, то он приступит к занятиям очень быстро после обращения в министерство. Министерство выдает вам направление в школу, а школа даёт справку. В прошлом году в ноябре посреди учебного года, например, сын перешёл в греческую гимназию за неделю от момента написания заявления.