Юристы по прежнему обещают 1.5 - 2 года, макс 3 :-)

Это какое -то местное самоуправство.

На сайте других консульств даже описана процедура.

Вот, например, Лондон:

С подготовленным заявлением о снятии с регистрационного учета необходимо обратиться в консульский отдел Посольства России за свидетельствованием подлинности подписи. Порядок совершения нотариальных действий, включая свидетельствование подлинности подписи, изложен на странице. 

После свидетельствования подлинности подписи заявление может быть направлено адресату одним из следующих способов: 
1. Через консульский отдел. Гражданин может обратиться к сотруднику с просьбой направить оформленное заявление в МВД.  В этом случае скан - копия заявления вместе с сопроводительным письмом от консульства в течение пяти рабочих дней будут загружены на специализированный портал МВД, а оригинал заявления и сопроводительного письма будут отосланы в МВД с очередной дипломатической почтой. Сотрудники консульского отдела направят гражданину сообщение о том, что его заявление направлено в МВД по электронной почте. В сообщении будет указан номер регистрации обращения о снятии с учета на специализированном портале МВД, имея который, гражданин в случае необходимости сможет связаться с МВД для получения информации о том, снят ли он с учета.  
2. Самостоятельно через доверенное лицо. Гражданин может оформить доверенность на снятие с регистрационного учета и переслать доверенность вместе с оригиналом заявления в Россию доверенному лицу для предъявления в территориальный орган МВД (например, если снятие с регистрационного учета сопровождается продажей квартиры).

Нерезиденту надо подавать?

Будем значит, записываться в консульство в Хайфе. Там все отправляют, как и положено.

Болгарскую в Никосии

Кажется, нет.
Недавно был кейс в чате, попробуйте поиском.