Подскажите пожалуйста, должен ли я платить налог на Кипре в случае сдачи квартиры в РФ (через самозанятость, если это важно)

Статус в РФ: налоговый нерезидент
Статус на Кипре: есть Пинк слип

НДФЛ (который прогрессивный) или другой налог или несколько?

вроде бы гросс. В категориях "получаемого на руки" налоговые и смежные с ними органы обычно не мыслят