А кто знает, как долго готовятся документы из соцстраха (по отчислениям работодателя) в Лимасоле?

Просто пишете им на имейл, с указанием номера вашего соцстраха, паспорта, пинкслипа, арс итд (и сканов документов).
Также можно получить из citizen centre, но там требуют доверенность от работодателя, иначе ничего не выдают.
Вопрос про сроки, я не знаю, как сейчас с этим обстоят дела в соцсрахе Лимасола.

Смотря какой именно документ вам нужен. Если просто по вашим отчислениям, то доверенность не нужна, но если вам для продления рабочего пинка, то там выдаётся еще одна форма ΥΚΑ, а вот для неё уже и нужна доверенность, так как выдаётся она на имя работодателя (ну, или просить работодателя, чтобы он сам её получал).

Кто сможет подсказать - на Кипр, на каникулы приехали дедушка со своим внуком (оформляли разрешение от отца в РФ).
Сейчас они улетают назад - вопрос: будут ли у них проблемы при выезде из Кипра (и транзитных перелетах). Справка на русском. Никак и никем не заверена.

Понятно, спасибо!
То есть, нигде этот документ не требуют, кроме границы РФ?

Легально - нет.
Вчера узнавали у district officer, который выдает разрешения от имени Кабинета министров.
Иностранцам нельзя - только для личного пользования.

Национальность не имеет, а вот факт того насколько вы гражданин ЕС или нет - 100% имеет

Да, но это уже совсем другой разговор)
И не всем будет выгодно открывать компанию, для этих целей.