Знакомая забирала дочь гражданку Украины с Крыма, в аэропорту Краснодара показывали доверенность от отца чтобы выезжать за границу. Для въезда на Кипр если биометрика , то виза не нужна . Про имигрейшен не поняла что имеете ввиду. Участились случаи в аэропорту Кипра на вылет проверки доверенности от отца.

Если Вы получили временную защиту Кипра как гражданка Украины, то на Кипре вопросов не будет. А для вылета с рф Вам нужна там доверенность на вывоз ребёнка. Правила выезда с оккупированной территории Украины не подскажу.