Нет, потому что вы должны подаваться на визу там, где вы резидент (As a general rule, you must apply for a visa at the Consulate with territorial competence for the country in which you legally reside, https://home-affairs.ec.europa.eu/policies/schengen-borders-and-visa/visa-policy/where-and-how-apply-schengen-visa_en). Если вы резидент Кипра, вы должны подаваться на Кипре, получается, не в РФ.

Швейцария в Шенгене, следовательно, какие могут быть проблемы? Не должно быть никаких.

Мы ездили на пасхальные каникулы кататься на лыжах. Никаких проблем. У нас французские мульти, у ребенка была шенгенская виза Швейцарии (Австрии), полученная на Кипре.

Да, нужно. И лучше сразу делайте до совершеннолетия, плюс апостилируйте в РФ. С формулировкой про разрешение кратковременных выездов в страны (перечисляйте по максимуму) и получения документов для них.