Налоговое резиденство определяется по проведенным в стране дням за календарный год, в любом статусе. 183 дня в год - и вы резидент.

Нет, вы не можете легально оставаться до назначенной встречи. Или берите у этого человека который вам так сказал бумагу с личной подписью что это действительно так.

На бумажке прямо написано что вы можете подаваться такого-то числа с истекшей визой и это не будет являться визовым нарушением?

Проблемы могут быть потом.

Тогда это все еще визовое нарушение и вы пару месяцев будете находиться на Кипре нелегально. Как вариант - подайте заявку на нахождение с оверстеем или выедьте до момента подачи.

Продлить можно только до 90 дней, у вас и так такая виза, вам не подходит этот вариант.
Подайте заявку на нахождение с оверстеем.

Налоги РФ в этом чате не обсуждаются. Про налоги Кипра подробнее вы можете прочитать в налоговой Мурзилке в закрепе.
Если совсем кратко - платите за ИП в РФ и на Кипре подоходный + гесси как физик.

Если вы про визитеров - то в Никосии живая очередь без записи, в других городах запись по почте или в миграции на месте.