просто забрать загран вы можете записавшись на прием по услуге: Выдача готовых паспортов и других документов.
осуществляется она во вторник и пятницу.

а в апреле только по вторникам

вставайте в лист ожидания и подтверждайте каждый день. может быть окно

тогда ждите.
ну еще можете:
1. написать в консульство и привести ВЕСОМЫЕ аргументы почему вам необходимо без очереди и срочно получить паспорт
2. приехать абсолютно без гарантии во вторник и стоять под дверью, вдруг пустят и выдадут

конечно это все без гарантии особо.
потому что всем срочно, всем нужно и все считают, что им гораздо нужнее, чем остальным )))))) а мест ограниченное количество и впихнуть невпихуемое количество граждан туда не возможно )))))

интересно где они их хранят? в посольстве?

я тоже думаю, что их в консульстве и хранят. надо будет спросить мне у знающих людей.

про замену паспорта вы про внутренний паспорт пишете? если не произведена замена в установленные сроки, то паспорт становится недействительным.

По достижении гражданином (за исключением военнослужащих, проходящих службу по призыву) 20-летнего и 45-летнего возраста паспорт подлежит замене. При этом такой паспорт является действительным до дня оформления нового паспорта, но не более чем 90 дней после дня рождения гражданина.

причем тут ваш внутренний паспорт для поездки на Кипр? если требуется для поездок за границу заграничный паспорт

не нарушайте законодательство и вовремя производите замену паспорта.
если 20 лет исполнилось 23.01.2023, то уже прошло 1,5 месяца и можно уже подать на новый внутренний паспорт и получить его быстро.

как минимум возможно вы не сможете оформить визу например, так как там нужен будет действующий внутренний паспорт (если применимо).
выезд за границу осуществляется по заграничному паспорту.

в списке документов на болгарскую визу нет требования предоставить копию внутреннего паспорта.
значит можете параллельно
https://www.bulgariaexpert.ru/visa/multivisa/