Сам пластик может забрать, может нет. Не зависимо от этого у вас месяц после увольнения на выезд или подачу заявки на другой тип резидентства.

У вас должны были быть какие-то основания нахождения, после месяц+увольнение.

Нет, договор основанием для резидентства не является. Является подача документов на визу по нему в миграцию и получение ресипта. Было бы странно, если бы по договору, о котором миграция не знает, который не внесен в базы и по факту не порождает последствий - можно было бы жить, все бы так жили)

Технически правильно было бы, раз вы нашли за этот месяц работу - выехать, работать удаленно, подождать пока юристы компании все подадут по entry пермиту - и вьезжать по нему. Либо получить другую визу на Кипр и вьехать по ней.