работать конечно можно, но в этом случае за рабочие месяцы вам не заплатят возможные декретные

наоборот, это закон, по которому работника нельзя уволить и прочие плюшки

вроде или декретные или зп, но не одновременно

ну, например, по LTRP можно отсутствовать (подряд!) до 5 лет на Кипре и до 1 года в ЕС, по F - до 2х лет на Кипре

это смотря как получил
если по регистрации - то нет

по натурализации - не более 7 лет отсутствия на Кипре подряд или каждый год письмо в посольство о том, что хочу сохранить кипрское гражданство
а по регистрации (ребёнок или супруг киприота) - нет такого требования